1922
La confrontation "A. Einstein - E. Cartan"

Introduction

 La première partie de mon exploration (La loi de Lorentz-Einstein ad initio : ISBN... 123-3, en anglais - voir aussi l'explication en anglais : The Lorentz-Einstein Law) a montré comment la méthode mathématique, dite extrinsèque, de décomposition des produits tensoriels impliquant la paire (position, vitesse) et déformés par les symboles de Christoffel de la seconde espèce permettait de retrouver le formalisme de la loi de Lorentz-Einstein sans invoquer un seul instant la notion de covariance. Je n'ignore bien entendu pas l'existence et l'importance de cette notion. Mais j'ai tenu à découvrir un autre chemin que celui suivi par l'auteur de la théorie de la relativité générale.

La démarche démontre ainsi que deux chemins logiques mènent à des résultats formellement semblables. Elle met une fois de plus le doigt sur un phénomène courant dans le monde de la physique théorique : il ne suffit pas de se fier à l'apparence immédiate d'une formule pour en comprendre l'essence. Le chemin qui y mène a autant d'importance que le résultat auquel il conduit.

Exemple remarquable.

Du côté de l'école allemande, la motivation essentielle de la théorie de la relativité générale [01] était d'explorer à fond les conséquences logiques et mathématiques d'un credo, d'un principe : « Les lois de la physique ont un formalisme équivalent quel que soit le référentiel dans lequel elles sont étudiées ». L'introduction des travaux de Riemann proposant un nouveau formalisme pour les éléments de longueur dans une géométrie qui n'est plus nécessairement euclidienne, puis de ceux de Christoffel (traduits en français par Cotton) fixant les relations assurant la préservation des formes différentielles d'ordre deux ont progressivement conduit à la notion de dérivation totale (ou covariante), de transport parallèle et enfin aux réflexions d'A. Einstein permettant d'aboutir à ses célèbres équations (10 relations au total disposées sous la forme d'une relation entre matrices carrées (4-4)).

En 1922, du côté de l'école française, E. Cartan publie un ouvrage d'environ soixante-dix pages [02] dans lequel il redémontre les fameuses équations. Le lecteur averti les reconnaîtra, c'est certain. Mais, il reconnaitra également que le point de vue y menant diffère finalement drastiquement de celui adopté de l'autre côté du Rhin.

Apparemment, E. Cartan ne connaissait que les travaux de Riemann sur les éléments de longueur et les équations finales de la relativité générale (plus l'hypothèse sur la conservation de l'énergie). La guerre, récente au moment de la parution de l'ouvrage que je commente ici (1914-1918), a interrompu les échanges scientifiques internationaux et l'auteur s'excuse d'ailleurs pour le cas où la démonstration qui va suivre aurait déjà été faite quelque part entre-temps. Sur la base de ces quelques indications, commence ainsi une démonstration, magistrale et systématique, visant à retrouver les équations de la relativité.

Dans la première partie, où le problème reste celui de la préservation des formes fondamentales[1] (ici les éléments de longueur dans une géométrie de Minkowski), la démarche physique sous-jacente est conduite d'une autre manière que celle utilisée dans [01]. Elle s'appuie essentiellement sur une analyse des mouvements connue sous le nom de méthode des trièdres mobiles en dimension trois. Elle privilégie donc une extrapolation du concept de torsion (Concept conçu comme la conjonction d'une translation et d'une rotation[2]).

Passons pour le moment sur les détails de cette première partie pour constater in fine qu'elle aboutit à valider de manière rigoureuse les résultats de la relativité générale en les généralisant. En ce sens, la démarche contient plus de cas possibles que sa sœur jumelle. Ce fait, remarqué par l'auteur, est étudié dans la seconde partie. Celle-ci se concentre sur l'introduction de données physiques liées à la notion de pression exercée et sur la prise en compte de l'hypothèse de conservation des énergies. Les équations obtenues dans la première partie sont retrouvées... mais avec un degré de liberté en moins et un éclairage sur leur signification physique en plus !

L'origine mathématique de la constante cosmologique

Bilan, les équations obtenues dans une école de pensée et dans l'autre sont quasiment les mêmes ; sauf que pour l'une d'entre elles, les résultats sont exacts et généraux [02]... plus généraux que dans [01]. D'une certaine façon, il est donc possible de faire remonter la question de la constante cosmologique à la parution de [02]. En effet, la formulation un peu plus générale proposée dans cet ouvrage autorise à introduire une constante supplémentaire dans les équations sans déroger au cahier des charges fixé par [01].

Conclusion : les prémisses d'un lien avec l'expansion de l'univers ?

Pour ce qui me concerne et pour revenir au propos initiaux de cet article de vulgarisation, un résultat donné est obtenu par deux chemins distincts de la pensée humaine. Chacun porte avec lui une signification physique. Laquelle est-elle la bonne ?

Je trouve particulièrement passionnant l'approche réalisée dans la seconde partie de [02]. Cette notion de pression exercée dans un univers spatio-temporel rapporté à une géométrie de Minkowski, donc présupposée vide de matière ne manque pas et ne lasse pas d'interroger. Ce scénario offre-t-il l'opportunité de mieux comprendre l'expansion de l'univers révélée par nos observations astronomiques actuelles ... c'est-à-dire presqu'un siècle après la parution de [02] ?

Bibliographie

[01] (a) Einstein, A. : Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie; Annalen der Physik, vierte Folge, Band 49, (1916), N 7. (b) Einstein, A. and Minkowski, H.: The principle of relativity; translated in English by Saha, M.N. and Bose, S.N. published by the university of Calcutta, 1920; available at the Library of the M.I.T.

[02] Cartan, E. : Sur les équations de la gravitation d'Einstein ; extrait du journal de mathématiques, 1922, Fasc. n°2, édité par Gauthier-Villars et Cie, libraires du bureau des longitudes de l'école Polytechnique, Paris, 1922.

[03] Lennuier, R., Gal, P.-Y. et Perrin, D. : Mécanique des particules, champs ; collection U éditée par la © Librairie Armand Colin, Paris, 1970.

[04] Cartan, E.: The theory of spinors.

Notes de bas de page

[1] Un problème posé par les résultats expérimentaux donnés par Morley et Michelson et dont la résolution a conduit aux transformations de Lorentz [03], utiles à la construction de la relativité restreinte, et un problème qu'E. Cartan traitera maintes fois au cours de sa vie de chercheur, notamment quelques années plus tard, en 1926, dans ses leçons sur les spineurs qui aboutiront à [04].

[2] C'est là un point commun entre mon approche et celle conduite dans [02].

Page créée le 11 janvier 2018