Décompositions extrinsèques
Le rôle de l'environnement

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Pour aller plus loin : La méthode des poupées russes

Vous êtes invités à découvrir la méthode extrinsèque de décomposition des produits tensoriels déformés à travers son exposé en anglais sur la page : Basics ou en français à travers l'utilisation qui en est faite au travers de la loi de Lorentz-Einstein et du principe d'incertitude sur la mesure dû à W. Heisenberg ; voir sur la page contenant la Table des matières le document intitulé : "Heisenberg revisité" (inscription nécessaire).

Par opposition à la méthode intrinsèque qui n'a besoin d'aucun élément extérieur à la problématique posée : "Un produit de Lie éventuellement déformé peut-il, oui ou non, se décomposer autrement que trivialement?", la méthode extrinsèque tente de trouver une réponse à la question posée en faisant usage d'un ingrédient extérieur aux acteurs impliqués ; in extenso : qui ne se confond ni avec les arguments du produit étudié, ni avec le cube déformant éventuellement ce produit. 

Concrètement, et en usant d'un vocabulaire peut-être beaucoup plus coûtumier aux mathématiciens, elle part du principe que l'espace mathématique des discussions est équipé d'un produit scalaire ; in extenso : d'une forme bilinéaire représentée par une matrice carrée [B] agissant sur l'espace vectoriel de dimension D et bâti sur le corps K, E(D, K), de la discussion.

D'emblée beaucoup plus générale que la méthode intrinsèque, elle s'intéresse d'abord aux produits tensoriels déformés, quelle que soit la dimension D de l'espace considéré. Contrairement à la méthode intrinsèque qui n'offre techniquement la possibilité que de découvrir la partie principale des décompositions non-triviales, elle répond entièrement au problème mathématique qui a été posé ; in extenso : elle livre la paire (partie principale, partie résiduelle) de la décomposition dès le moment où la matrice [B] est inversible. 

Elle peut s'appliquer ensuite et en particulier aux cas des espaces de dimension D = 3 et des cubes antisymétriques, c'est-à-dire aux produits vectoriels éventuellement déformé et décomposés non-trivialement. Ce qui permet alors d'envisager une confrontation entre les résultats livrés par les deux méthodes. 

Tout comme pour la méthode intrinsèque, il existe des limites à son usage. Par exemple et comme indiqué ci-dessus, la non-inversibilité de la forme bilinéaire utilisée ne mènbe nulle part. Par ailleurs, elle est foncièrement une méthode approximative. En effet, l'idée sous-jacente consiste à construire deux scalaires associés avec une décomposition non-triviale éventuelle puis à comparer chacun de ces deux scalaires avec un développement limité à l'ordre deux inclus... 

Toute cette problématique est approfondie dans le document 115-8 (voir, après inscription, la Table des matières). 

Page mise à jour le 01 décembre 2017