Métriques et aires
Les surfaces induisent des géométries

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Pour aller plus loin : Ondes quadrupolaires

1.- J'ai posé, il y a quelques années, une question provocatrice et demandé ce que nous observerions si nous disposions de microscopes ultra-puissants?

J'ai également laissé sous-entendre à plusieurs reprises sur mes sites successifs que les calculs (ceux de la Loop Quantum Gravity et, plus modestement, les miens) semblaient indiquer une réponse surprenante à cette question. Plus exactement, j'ai évoqué l'idée que nous observerions une sorte de treillage géométrique. Pour appuyer mon idée avec une image, j'ai disposé ici et là sur ce site la photographie d'une plante rencontrée au hasard d'un chemin en septembre 2013 à Samos. 

Soyons fous jusqu'au bout et supposons que cette réponse soit vraie. Comment définirions-nous alors les notions essentielles de la géométrie à cette échelle où l'univers ressemblerait à une sorte originale de cristal, à une sorte étrange de ruche ?

2.- En basant la réflexion sur les calculs montrant qu'il est possible de définir des tubes de vide [voir à ce sujet mon document "Vacuum and Strings" - piste rouge] la pensée libre pourrait imaginer que cette structure serait une sorte de mécano tubulaire en extension. Il y aurait des tubes de vide et, entre eux : rien....

Ceci n'empêcherait pas d'imaginer que ces atomes de géométrie définissent des aires (par exemple : triangulaires). Elles seraient nos uniques outils pour tenter de construire, ou plus exactement pour tenter de reconstruire, une métrique pour les échelles habituelles (celles où nous vivons). C'est la raison intuitive pour laquelle j'ai très vite pensé qu'il devrait être possible de construire des espaces métriques à partir de surfaces.

3.- Et bien, fort heureusement pour moi, je ne suis ni le premier, ni le seul à avoir eu cette idée qui sinon aurait été qualifiée de folle. Monsieur Elie Cartan, alors qu'il était membre de l'Institut, professeur à la Sorbonne, publia en 1933 un petit recueil d'une cinquantaine de pages (voir reproduction de la page de garde ci-dessus) où il expose en français comment construire des espaces métriques à partir de la notion d'aire. Ce livre est un diamant. Il démontre non seulement la puissance de réflexion de son auteur, mais sa géniale capacité à lier géométrie et algèbre tensorielle.Je suis encore en train de déchiffrer et de défricher ce document. Mais une chose est d'ores et déjà certaine : il contient une explication géométrique des calculs relatifs à ce que j'ai nommé ma méthode extrinsèque d'éclatement des produits extérieurs étendus. 


Un autre grand intérêt de ce document est la clarté avec laquelle il explique bien les frontières entre les mondes euclidiens, riemanniens et plus généraux encore. Il le fait avec une simplicité presque déconcertante. Mieux, il donne les critères permettant de savoir quand l'espace dans lequel les calculs nous emmènent est riemannien ou non. 

Pour aller plus loin : Ondes quadrupolaires 

Page mise à jour le 18 septembre 2016 puis les 17 juin et 07 décembre 2017