Algèbres topologiques
Un sujet plein d'avenir

 Il n'aura une fois de plus échappé à personne que le prix Nobel de physique 2016 a récompensé des recherches dont le contenu échappe à une grande majorité de nos contemporains. Autant celui de l'an passé pouvait faire rêver (les neutrinos ont une masse), autant celui de cette année aura du mal à faire vibrer les esprits, même les plus curieux. Ce constat n'est pas une critique déguisée, ni contre le choix du comité, ni contre le public. Il justifie que les spécialistes fassent un tout petit effort pour faire comprendre l'originalité et l'intérêt de leurs recherches.

L'introduction proposée par un membre du comité exhibant son petit déjeuner pour nous initier aux rudiments de la topologie, des algèbres topologiques et des invariants topologiques est louable mais elle ne nous permet pas d'aller bien loin et n'inspire pas directement l'intérêt excepté peut-être celui de le partager avec cet éminent scientifique autour d'une tasse à une anse remplie de café ou de thé dont nous aurons enfin compris qu'elle fait partie de l'ensemble des objets à un trou. Vous me suivez ?

En réalité l'algèbre topologique n'est là que comme outil et ne constitue que le premier étage des difficultés techniques à affronter pour comprendre les travaux développés par les gagnants de cette promotion.

Le cœur du sujet concerne en réalité l'étude des matériaux ayant cette curieuse mais fascinante propriété de ne conduire l'électricité qu'à leur surface mais jamais en leur intérieur ; ce sont les fameux isolants topologiques. Isolants topologiques parce qu'une partie de leur forme est isolée des effets électromagnétiques.

Typiquement, et c'est ce qu'étudie par exemple M. Haldane dans une de ces notes préfiguratrices, le but est d'étudier des réseaux de conduction circonscrivant des zones isolantes. C'est la raison pour laquelle ces recherches exigent de bien connaitre les réseaux dits de Bloch (voir aussi ma page anglophone : Electrons in a lattice).

Comme ces zones conductrices peuvent être considérées comme des zones guidant le transport électronique de manière privilégiée mais que ces électrons, c'est bien connu depuis les travaux initiateurs de la mécanique quantique, ont une fâcheuse tendance à former des nuages plus qu'à décrire des trajectoires courbes ou rectilignes bien définies, ces travaux d'avant-garde sont également une des rares branches de la physique dans laquelle les travaux d'E. Cartan liant les métriques basées sur des Hessiennes et les changements des surfaces (voir ma page Métriques et aires) trouvent une application pratiquement toute faite et sur mesure... à l'échelle atomique !

Ainsi, je ne sais pas si mon bavardage aura un peu contribué à augmenter votre compréhension sur le sujet, mais je pense qu'il aura participé à vous faire comprendre en quoi les travaux que je mène ne sont pas si éloignés des préoccupations des équipes scientifiques d'aujourd'hui, au moins en ce qui concerne la démarche et l'esprit.

Ma modeste contribution sur le lien entre les C*algèbres et les courbures de l'espace (des vitesses et des positions) s'appuie bien entendu sur les travaux de Cartan. Elle ne doit, au stade actuel de son développement, être vue que comme un balbutiement je l'espère prometteur qui devrait permettre d'étendre à terme les travaux primés cette année aux espaces de dimension trois et quatre ; et qui sait : permettre un jour de manipuler les forces de gravitation à notre profit ?

Seul je n'y parviendrai certainement pas. J'espère que d'autres esprits curieux sauront soit s'approprier ces explorations pionnières, soit associer mes contributions à leurs propres quêtes.

parue initialement le 07 octobre 2016 - remise à jour le 21 février 2018