Décompositions : à la croisée des chemins
Etude comparée des formalisme de divers objets mathématiques incluant la partie principale des décompositions non-triviales des produits tensoriels déformés

Parties principales des décompositions extrinsèques, dérivées covariantes et propagateurs : des objets mathématiques voisins et à la croisée des chemins. Voir document 089-2 sur la page : Tableau des travaux

On peut à juste titre s'interroger sur l'objet mathématique central introduit par la démarche que je poursuis : la partie principale des décompositions non-triviales des produits tensoriels déformés. Je veux dire s'interroger sur son formalisme, sur son origine, sur sa généralité, sur l'existence d'objets apparentés.

L'observation attentive du diviseur intrinsèque, tout comme celle du diviseur extrinsèque aura sans aucun doute éveillé la notion de dérivée covariante dans l'esprit des lecteurs. Il n'est pas vain non plus de rappeler que la dérivation covariante fait son apparition dans l'œuvre originale d'A. Einstein [01 ; p. 793, (25)] et qu'elle réapparait également dans le travail d'A. Lichnerowicz sur les propagateurs [02 ; p. 9].

La dérivée covariante n'est pas, que ce soit dans la première comme dans la seconde référence, l'objet central de ces deux travaux. Elle y apparait chaque fois sous forme d'un emprunt, soit aux travaux d'E.B. Christoffel [03] pour ce qui concerne la relativité générale ; soit aux réflexions générales sur la notion de tenseur-distribution [02] pour ce qui relève de la théorie des propagateurs.

Dans le cas des décompositions éventuellement non-triviales des produits de Lie déformés [04], elle réapparait finalement comme un cas de diviseur pour certaines familles particulières de ce type de produit (voir note spécifique à part de [04]).

De facto, la notion de dérivée covariante se retrouve donc être au centre de trois approches apparemment sans lien les unes avec les autres : elle naît d'abord des travaux de Christoffel sur la préservation des formes différentielles d'ordre deux [03] ; elle est également induite par une propriété des tenseurs-distribution d'ordre 1 (voir [02 ; p.9]) ; enfin elle exprime le diviseur pour certaines familles particulières de produits de Lie déformés (voir note spécifique à part de [04]).

Le fait que la première relation de Christoffel (voir [03 ; p. 49, (9)]) suinte la présence d'une dérivée covariante et le formalisme de la loi du mouvement qu'on note aujourd'hui « la loi de Lorentz-Einstein » [05] peut justifier l'intuition que la dérivée covariante ait un lien avec la notion de mouvement, de propagation.

Les travaux développés dans [02] confirme cette sensation et le lien qu'il est permis d'établir entre les diviseurs associés avec l'équation de Klein-Gordon et les propagateurs de Feynman pour les photons la renforce, voire l'amplifie. En effet, il semble de plus en plus raisonnable de penser que les diviseurs associés avec les formes polynomiales de degré deux ayant elles-mêmes un lien avec un mouvement physique réel traduisent une extrapolation de la notion de dérivée covariante qui puisse jouer le rôle de propagateur.

Bibliographie

[01] Einstein, A. : Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie; Annalen der Physik, vierte Folge, Band 49, (1916), N°7.

[02] Lichnerowicz, A. : Commutateurs et propagateurs en relativité générale ; publications mathématiques de l'I.H.E.S., tome 10 (1961), pp. 5-56 (accessible sur www.numdam.org).

[03] Christoffel, E. B. : Über die Transformation der homogenen Differentiale Ausdrücke zweites Graden; Journal für die reine und angewandte Mathematik, pp. 46-70, Berlin, 1826. Copie électronique peut être obtenue en s'adressant à l'université de Göttingen.

[04] Periat, T.: Decomposition of deformed Lie products; voir mon travail sur researchgate.

[05] Periat, T.: Les premières relations d'E.B. Christoffel revisitées ; voir mon travail sur researchgate.

Pour continuer la découverte des prémisses : Eléments de topologie

Texte paru initialement en juillet 2016 et remis en ligne le 07 février 2018 ; mise à jour le 17 mars 2018.