Décompositions-Propagateurs
L'interprétation physique des mathématiques

© Thierry PERIAT : Textes, idées et photos

Parties principales des décompositions de certains produits tensoriels déformés, dérivées covariantes et propagateurs : des objets mathématiques à la croisée des chemins.

On peut à juste titre s’interroger sur l’objet mathématique central introduit par la démarche que je poursuis : la partie principale des décompositions de certains produits déformés (Voir la page dédiée à l’explication de ma sémantique pour comprendre de quel objet il s’agit). Je veux dire s’interroger sur son formalisme, sur son origine, sur sa généralité, sur l’existence d’objets apparentés.

Son observation attentive aura sans aucun doute éveillé la notion de dérivée covariante dans l’esprit des lecteurs. Il n’est pas vain non plus de rappeler que la dérivation covariante fait son apparition dans l’œuvre originale d’A. Einstein [01 ; p. 793, (25)] et qu’elle réapparait également dans le travail d’A. Lichnerowicz sur les propagateurs [02 ; p. 9].

La dérivée covariante n’est pas, que ce soit dans la première comme dans la seconde référence, l’objet central de ces deux travaux. Elle y apparait chaque fois sous forme d’un emprunt, soit aux travaux d’E.B. Christoffel [03] pour ce qui concerne la relativité générale ; soit aux réflexions générales sur la notion de tenseur-distribution [02] pour ce qui relève de la théorie des propagateurs.

Dans le cas des décompositions éventuellement non-triviales des produits de Lie déformés [04], elle réapparait finalement comme un cas de diviseur pour certaines familles particulières de ce type de produit (voir note spécifique à part de [04]).

De facto, la notion de dérivée covariante se retrouve donc être au centre de trois approches apparemment sans lien les unes avec les autres : elle naît d’abord des travaux de Christoffel sur la préservation des formes différentielles d’ordre deux [03] ; elle est également induite par une propriété des tenseurs-distribution d’ordre 1 (voir [02 ; p.9]) ; enfin elle exprime la partie principale des décompositions pour certaines familles particulières de produits de Lie déformés (voir note spécifique à part de [04]).

Le fait que la première relation de Christoffel (voir [03 ; p. 49, (9)]) suinte la présence d’une dérivée covariante et le formalisme de la loi du mouvement qu’on note aujourd’hui « la loi de Lorentz-Einstein » [05] peut justifier l’intuition que la dérivée covariante ait un lien avec la notion de mouvement, de propagation.

Les travaux développés dans [02] confirment cette sensation et le lien qu’il est permis d’établir entre les diviseurs associés avec l’équation de Klein-Gordon et les propagateurs de Feynman pour les photons la renforce, voire l’amplifie. En effet, il semble de plus en plus raisonnable de penser que les parties principales des décompositions associées avec les formes polynomiales de degré deux ayant elles-mêmes un lien avec un mouvement physique réel traduisent une extrapolation de la notion de dérivée covariante qui puisse jouer le rôle de propagateur.  

Bibliographie

[01] Einstein, A. : Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie; Annalen der Physik, vierte Folge, Band 49, (1916), N°7.

[02] Lichnerowicz, A. : Commutateurs et propagateurs en relativité générale ; publications mathématiques de l’I.H.E.S., tome 10 (1961), pp. 5-56 (accessible sur www.numdam.org.

[03] Christoffel, E. B. : Über die Transformation der homogenen Differentiale Ausdrücke zweites Graden; Journal für die reine und angewandte Mathematik, pp. 46-70, Berlin, 1869. Copie électronique peut être obtenue en s’adressant à l’université de Göttingen.

[04] Periat, T.: Decomposition of deformed Lie products; ISBN 978-2-36923-084-7, v1, 31 January 2016.

[05] Periat, T.: Les premières relations d’E.B. Christoffel revisitées ; ISBN 978-2-36923-051-9, v2, 2 juillet 2015.