Einstein versus Heisenberg
Les bases d'une théorie de la gravitation quantique

© Thierry PERIAT : Textes, idées et photos 

Corollaire du théorème de Christoffel-PERIAT (Contribution à la théorie de Yang-Mills – Problème du Millénium)

Nous venons de redécouvrir, presque incidemment et comme sous-produit de l’étude visant à démontrer le bien-fondé de la GTR2 (voir la page « Validation de la GTR2 »), le travail fondamental de E. B. Christoffel (1869) sur la préservation des formes bilinéaires.

Cette redécouverte tombe à pic, au beau milieu de mes investigations sur les méthodes permettant de décomposer non trivialement les produits tensoriels (respectivement : extérieurs et de Lie) déformés. En effet, le scalaire associé avec une décomposition non-triviale, est forcément une forme polynomiale de degré deux.

S = <b, |ÄA(a, b)> - {[P]. |b> + |z>}>[B]

Ainsi, en imposant la disparition des termes de degré un au sein de cette forme polynomiale :

<b, z>[B] = 0

Nous retrouvons systématiquement une forme bilinéaire (dépendant des composantes de la cible b) et nous pouvons envisager d’étudier les conditions de sa préservation à l’aide du travail de Christoffel.

S = <b, |ÄA(a, b)> - [P]. |b>>[B] = invariant

La forme bilinéaire préservée est donc :

[w] = {AF(a) – [P]}. [B]

Cette manœuvre peut paraitre spécieuse (tirée par les cheveux) et donc dépourvue d’intérêt mais elle trouve un terrain d’application tout à fait remarquable avec la loi covariante de Lorentz (dite aussi de Lorentz- Einstein). En effet en posant :

<u, >[B] = 0

S = <u, |ÄG(p, u)> - {[F]. |u> - |>}>[B]

[w] = {GF(p) – [F]}. [B]

Il y a jusque là une grande liberté de choix de la forme [B]. Pour autant il est judicieux de constater qu’en posant [B] = k. {G] = invariant le long de l’abscisse curviligne s, et où [G] désigne la métrique locale de l’espace de dimension quatre des discussions, alors la première contrainte coïncide simplement avec la contrainte (que nous nommerons) relativiste ; in extenso : avec la préservation de l’élément de longueur. Ainsi ces quelques briques suffisent à retrouver les solutions de la théorie de la relativité générale.

Mais que nous apprennent-elles d’autre ? Le scalaire S mesure l’erreur de réalisation de la loi de Lorentz covariante ; où, en d’autres termes : l’impact de toutes les autres forces locales, hormis la loi de Lorentz Einstein. Si nous considérons les unités physiques de ce scalaire, il est le produit d’une célérité par une force. Il est donc formellement équivalent à une distance multipliée par une force et divisé par un temps. En le multipliant par un temps, nous avons donc à faire à une énergie : elle pourrait être une quantité préservée. Mais nous ne pourrions alors faire usage des travaux de Christoffel car nous n’aurions plus une forme bilinéaire.

Si, en revanche, nous multiplions le scalaire S par le carré d’un temps, nous obtenons une énergie multipliée par un temps et, non seulement cette quantité évoque aussitôt la notion d’incertitude (principe d’incertitude d’Heisenberg), mais nous pouvons prétendre faire usage des travaux de Christoffel sur la forme bilinéaire ci-dessous : 

dW. dt = <dx, |ÄG(p, dx)> - {[F]. |dx >>[B]

 <dx, >[B] = 0

[w] = {GF(p) – [F]}. [B]

Ce triplet de relations est fondamental en ce sens qu’il décrit une sorte d’interconnexion entre la relativité générale et la mécanique quantique avec un minimum d’outils.

-           Si nous examinons la première relation, elle doit satisfaire le principe d’incertitude d’Heisenberg pour la paire (énergie, temps). Ce qui veut forcément dire qu’une valeur minimale lui est imposée. Nous pouvons faire usage des travaux de Christoffel pour étudier les conditions préservant ce minimum (Nous l’appellerons le minimum quantique).

-           La seconde relation peut être divisée par un lapse de temps dt non nul et redonner les solutions de la relativité générale à condition de continuer à imposer [B] = k. {G] = invariant le long de l’abscisse curviligne s ;

-           La troisième précise en fait la forme préservée. Par exemple, avec l’aide de la méthode de décomposition extrinsèque, nous pouvons obtenir :

[F] ~ GF(p) + [G]-1. [Hess P2(0)]

Ce qui fournit un nouveau visage à cette troisième relation :

[w] ~ [G]-1. [Hess P2(0)]. {G]

Ceci démontre le plus simplement du monde que la forme bilinéaire [w] obéit approximativement à une relation de jauge en dimension quatre. Cette réflexion peut être poursuivie un cran plus loin : C’est ce que j’ai fait dans l’article « Einstein versus Heisenberg » dont la version 5 (en anglais) est désormais accessible en consultation sur ce site et téléchargeable sur researchgate.net.

© Thierry PERIAT, 10 septembre 2018 – amélioré le 18 septembre 2018