Equation de Klein Gordon
Interprétation dans le cadre des déformations des produits vectoriels

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pour aller plus loin : Super-fluidité

nota bene : Les liens proposés à l'intérieur des commentaires ci-dessous renvoient vers des articles proposés par l'encyclopédie Wikipédia France. Ils sont là à titre indicatif et uniquement de manière à offrir un premier dégrossissage des sujets évoqués. Il appartient au lectorat soucieux d'approfondir ces notions de poursuivre ses recherches par lui-même.

Commentaires en français du document en anglais accessible sur ma page researchgate.net 

"Electrons in a lattice"

La longue route vers le réel

Les habitué(e)s de mon site auront senti et compris que mes hésitations récentes n'avaient qu'une explication : le temps nécessaire à trouver un terrain où mes explorations mathématiques pourraient s'épanouir au travers d'applications physiques suscitant l'intérêt de mes contemporains. Le chemin fût long et pénible mais l'objectif est désormais en passe d'être atteint.

La recherche sur les condensats de Bose-Einstein bat son plein, spécialement depuis que les chercheurs ont compris la possibilité de confronter les lois décrivant le comportement de cet état de la matière avec celles de la gravitation (voir par exemple [01]). Les explorations des états supraconducteurs, théoriques et expérimentales, ne sont pas non-plus en reste. 

L'incontournable équation de Klein-Gordon

La notion de propagation des ondes et particulièrement l'équation de Klein-Gordon semblent jouer un rôle primordial dans les analyses théoriques.

Je sais : cette équation n'est pas la première à être évoquée dans les cours, les conférences et les diaporamas dédiés à vulgariser la notion de supraconduction. Non, l'auditeur y entend parler d'Onnes (le découvreur du phénomène au niveau expérimental), des lois des frères London (la première description théorique du phénomène), de la théorie BCS (qui introduit l'idée de la formation de paires pour expliquer l'apparition du phénomène dans les matériaux supraconducteurs de type I), des équations de Ginzburg et Landau, des vortex d'Abrikosov-Nielsen-Olesen, etc.

Par contre, elle fait à nouveau son apparition dans les études récentes [01] introspectant les liens entre condensat de Bose Einstein et gravitation. Il n'y a rien de plus naturel en fait si on veut bien se souvenir qu'elle est en quelque sorte la « mère » de l'équation de Dirac sans laquelle aucune description des propagations au sein des états condensés de la matière ne saurait aujourd'hui se faire.

Mon analyse de cette équation

Il était donc naturel que je tente à mon tour d'incorporer ce pilier de la physique théorique et expérimentale dans mes explorations.

Je l'ai fait de diverses façons :

  • directement (L'injection de ses solutions les plus simples -ondes planes- dans sa formulation libre -pas de source externe- fournit le polynôme de degré deux présupposé propre écrit en fonction des composantes spatiales du vecteur d'onde, k, que j'interprète comme la signature d'un produit vectoriel déformé et décomposé non-trivialement du type [k, ...][A]) et, plus récemment,
  • indirectement (Je considère la théorie décrivant les électrons de Bloch, plus exactement : leurs énergies, et j'en déduis le polynôme de degré deux -présupposé propre- écrit en fonction des composantes spatiales du vecteur d'onde, k, que j'interprète là aussi comme la signature d'un produit vectoriel déformé et décomposé non-trivialement du type [k, ...][A]).

Dans le dernier cas [b] je porte tous mes efforts à convaincre le lectorat de l'utilité pratique de mon investigation mathématique pure dédiée à la décomposition non-triviale des produits vectoriels déformés [a].

L'article expose dans l'ordre : un rappel des principaux résultats, les équations donnant les valeurs propres de l'énergie des électrons de Bloch puis la démarche menant aux conclusions que je viens de rappeler.

L'approche théorique [a] semble être faite sur mesure pour cette application [b] ; in extenso : chaque acteur mathématique trouve son jumeau physique sans difficulté particulière. La Hessienne est l'inverse de la métrique spatiale, le vecteur singulier de la polynomiale propre est proportionnel au vecteur d'onde (ce qui est conceptuellement rassurant), la polynomiale elle-même se confond avec la fonction donnant les valeurs propres de l'opérateur self-adjoint représentant les énergies possibles (E(k) = L(k)) tandis que le déterminant des décompositions non-triviales présente un lien direct avec la masse effective de ces électrons.

Je note en fin de document que la formule actuelle donnant la masse effective résulte de considérations indirectement reliées aux approximations de Born-Oppenheimer et que la théorie que je développe permet d'en donner la valeur en suivant un tout autre chemin de la pensée. Il faut résoudre un polynôme de degré quatre dont je précise les coefficients ; ce qui, somme toute, reste faisable avec un programme du type MATLAB.

La démarche que je tente de promouvoir livre un autre résultat dont la trace n'apparaît -en l'état actuel de mes connaissances- dans aucune autre approche équivalente. Les valeurs propres de l'opérateur self-adjoint représentant les énergies possibles pour les électrons en réseau sont les matérialisations de la partie non-triviale des décompositions des produits vectoriels déformés [k, ...][A]. Ce résultat mathématique suggère une toute autre vision de ce que sont ces énergies et ces électrons... En effet, de façon imagée, les énergies « portées » par ces électrons semblent être le résultat de déformations de la géométrie.

Je ne sais si cette interprétation découlant naturellement de mes calculs est correcte et recevable et j'ai encore beaucoup de pain sur ma planche. Mais quel plaisir de voir poindre la réalité au bout de ces calculs.

Bibliographie suggérée

[01] Relativistic Bose-Einstein condensates: A new system for analogue models of gravity; arXiv: 1001.1044v1 [gr-qc], 7 Janvier 2010.

Mes contributions

[a] Periat, T.: Decompositions of deformed Lie products ; ISBN 978-2-36923-084-7, v1, 31 January 2016; published on www.researchgate.net in December 2017.

[b] Periat, T.: Bloch's electrons and deformed Lie products; ISBN 978-2-36923-124-0, 17 January 2018 (version pour le site cordes-cosmiques); also accessible as working paper on www.researchgate.net

Page créée le 17 janvier 2018 et mise à jour du 26 février 2018