Décompositions intrinsèques
Avec application au modèle d'Ising et aux électrons de Bloch

Une autre méthode : Décompositions extrinsèques

1. Dans les espaces de dimension trois

Résumé : Les produits vectoriels peuvent être déformés, projetés dans l'espace dual et y être décomposés de manière non-triviale. Les concepts fondamentaux sont d'abord exposés. Puis deux méthodes permettant de décomposer les produits vectoriels déformés sont proposées avec un développement prépondérant de la première, dite intrinsèque. La démonstration des conditions de l'existence des décompositions intrinsèques, du théorème initial puis du formalisme des résultats des divisions effectuées est ponctuée de deux exemples simplifiés d'application : le modèle d'Ising et les électrons en réseaux (dits de Bloch) dont l'importance en électromagnétisme n'est plus à démontrer (exemple d'application : les courants de spins).

Mots clés : produits vectoriels, déformations, espace dual, décompositions, algèbres

Mes commentaires : Ce document difficile à comprendre est une des pierres angulaires de mes explorations. Il est un de ceux sur lequel repose le reste de l'édifice théorique. 

Il démontre essentiellement que la division du produit éventuellement déformé de deux vecteurs choisis dans un espace de dimension trois n'est pas nécessairement triviale. 

On peut contester le parti pris de mélanger démonstration fondamentale et exemples d'application. Il risque d'empêcher le lecteur (la lectrice) d'aller au fond de l'idée mathématique. Pour autant, il me semble que l'introduction d'exemples est le moyen le plus judicieux d'adoucir le côté ardu des mathématiques tout en encourageant le lecteur (la lectrice) à poursuivre dans son effort. 

Il faut comprendre que les déformations des produits vectoriels peuvent s'extrapoler dans les espaces de dimension supérieure à trois aux produits extérieurs. Le concept même fonde l'idée de l'existence d'algèbres (extérieures) déformées. 

Le prix Nobel de physique 2016 (voir la page Algèbres topologiques) devrait finir de convaincre les indécis de l'utilité d'étudier ces algèbres puisque ces travaux concernent des algèbres déformées (d'Heisenberg) dans un espace de dimension deux.

2. Dans les espaces de dimension quatre

Résumé : Je débute l'exploration des décompositions intrinsèques en dimension quatre

Page mise à jour le 28 décembre 2017