GTR2-FR-Analyse
Une théorie unitaire en dimension quatre?

© Thierry PERIAT : Textes, idées et photos : ici, un petit bout de la muraille de Chine (aout 2017). 

Ce document confronte des résultats acquis dans deux études préalables.

L’une a considéré dans quelle mesure il était possible de traiter la loi de Lorentz-Einstein apparaissant dans la théorie de la relativité générale due à A. Einstein en tant qu’opérateur différentiel d’ordre deux.

La seconde approche a examiné s’il était possible de construire une théorie similaire à la théorie de la relativité générale « à la E. Cartan » en incorporant les variations des vecteurs de base jusqu’à l’ordre deux : c’est la GTR2.

Le document : © Thierry PERIAT, GTR2 – Analyse, EAN 9782369230878, v2, 06 décembre 2018.

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Table des matières

1. Rappel du contexte hérité de l’approche dite « GTR2 »(voir sur ce site les fondations)

2. les formes symplectiques de la théorie

2.1. Définitions : formes symplectiques de la théorie

3. Rappel du contexte hérité de l’approche transformant la loi de Lorentz-Einstein en opérateur différentiel d’ordre deux (voir aussi sur ce site)

3.1. La démarche et les principaux résultats

3.2. Le cadre de la première interprétation

3.3. Interprétations des coefficients linéaires de la transformation dans le cadre de la première interprétation

3.4. Le cas des métriques dégénérées

3.5. Définition : cube informatique

3.6. Définition : bases LE2

4. Les métriques dégénérées des bases LE2 au sein de la GTR2

4.1. Les conditions de validation de la GTR2

4.2. Une question en suspens

4.3. Une propriété remarquable des évènements dans une base de type LE2 au sein de la GTR2

4.4. Une autre question en suspens

4.5. Remarque : quelques pistes            

4.6. Proposition             

4.7. Définition : produit tensoriel déformé

4.8. Preuve

4.9. Théorème

4.10. Commentaires

5. Etude de l’espace tangent

5.1. Définition : base événementielle

5.2. Définition : espace des vecteurs tangents isotropiques

5.3. Connections symplectiques spéciales de la théorie de la question (E)

5.4. Une précision sur le formalisme des formes symplectiques de la théorie (E)            

5.5. Remarque : valeurs approximatives des coefficients des formes symplectiques

5.6. Remarque : les cubes ne doivent pas être nuls

5.7. Eléments indispensables pour la poursuite des calculs

6. Conséquences dans le cadre des bases LE2 et d’une poursuite des calculs jusqu’aux termes de degré 3

6.1. Principe des calculs à faire 

6. 2. Calcul intermédiaire d’une somme du genre

6.3. Résultats

6.4. Résumé provisoire des calculs.

6.5. Un cas limite et un problème d’évolution

6.6. Encore une question non résolue

7. Propriétés particulières de l’approche non linéaire dans la construction de la relativité générale

7.1. La place de la condition de Schwarz (prémisses de la discussion)

7.2. Définition : circonstances géométriques « pré-relativistes »

7.3. Définition axiomatique d’une torsion

7.4. Une condition spécifique sur les composantes des cubes T pré-relativistes

7.5. Théorème : des conditions pré-relativistes

7.6. Intégrabilité

7.7. Le calcul jusqu’aux termes de degré quatre

7.8. Théorème : des métriques oscillantes.

8. Conclusion

9. Bibliographie            

9.1. Articles, cours et livres.

9.2. Travaux personnels             

© Thierry PERIAT, La théorie de la question (E), 06 décembre 2018.

 

Rappel de ce qu’est la GTR2

Elle se définit comme une approche entièrement inspirée par la démarche exposée dans [01] mais dont elle reprend et poursuit la logique en considérant les variations des vecteurs d’une base canonique jusqu’à l’ordre deux inclus.

Interprétation essentielle proposée par la théorie défendue ici

Les résultats physiques fournis par cette démarche reposent sur une identification des variations de la métrique locale, non pas avec un développement limité (ce qui annulerait alors tous les résultats proposés par la GTR2), mais avec les décompositions non-triviales d’un produit tensoriel déformé. Cette identification constitue donc le pilier mathématique fondateur de cette proposition théorique. S’il s’avère à l’expérience qu’elle ne correspond à aucune réalité physique, cette approche (la GTR2) se résumera à une jolie spéculation sans lendemain.

Résumé des acquis

Pour l’heure, les résultats livrés par cette proposition sont à la fois surprenants et prometteurs. Elle permet :

-           Une discussion sur la notion de temps et l’introduction d’une flèche du temps en termes mathématiques (Ce sujet fait partie des problèmes non résolus en physique théorique).

-           La construction de l’équivalent des composantes d’un tenseur de courbure de Riemann à l’aide des composantes de cubes (les T) projetant les variations d’ordre un des vecteurs de la base canonique ; composantes pour lesquelles nous avons montré dans le document « validation de la GTR2 » qu’il était finalement sensé de les identifier avec une expression dans laquelle apparaît la forme L introduite par E. Cartan en 1933 dans son ouvrage (en français) consacré à l’étude de métriques fondées sur les variations des aires [02]. Il en résulte que le pseudo-tenseur de courbure de Riemann de la GTR 2 devrait aussi pouvoir s’écrire d’une manière suggérant de poursuivre la réflexion en s’intéressant au tenseur densité de Kummer [03]. Il permettra sans doute une harmonisation entre les considérations concernant l’électromagnétisme et d’autres concernant la gravitation.

-           Le constat et la prise de conscience importante du fait que la non-nullité des composantes de ce pseudo-tenseur de courbure de Riemann coïncide avec une discontinuité des formes polynomiales sur lesquelles cette théorie repose (voir l’identification avec les décompositions des produits tensoriels déformés).

-           Le calcul des composantes d’un tenseur de Ricci (non nécessairement nul) par contraction des composantes de ce pseudo-tenseur de Riemann.

-           L’identification, dans le système de coordonnées de Fermi, des composantes de ce pseudo-tenseur de courbure de Riemann avec celles de champs électromagnétiques (six au total).

-           Le constat déconcertant que la seconde contraction possible des composantes du pseudo-tenseur de courbure (i) s’identifie avec la contraction des composantes des champs électromagnétiques de la GTR2 et (ii) est nulle (Ce qui semble indiquer que le champ EM global serait nul tout en étant apte à éventuellement provoquer une courbure se matérialisant à travers les composantes non forcément nulles du tenseur de Ricci) !

-           De subodorer l’existence d’un lien entre les six champs EM et la figure symbolique du tétraèdre. Par là même, d’un lien potentiel avec certaines théories de gravitation quantique (Covariant Loop Quantum Gravity [04], par exemple).

-           Le calcul d’une expression pour le tenseur impulsion-énergie du champ de gravitation (voir le document provisoire exposé ci-dessus).

© Thierry PERIAT, 23 novembre 2018.

Bibliographie succincte pour aller plus loin

[01] Delachet, A : : Le calcul tensoriel ; autrefois accessible dans la collection « Que sais-je ? »

[02] Cartan, Elie. Les espaces métriques fondés sur la notion de d'aire dans « Actualités scientifiques et industrielles », numéro 72, exposés de géométrie publiés sous la direction de monsieur Elie Cartan, membre de l'institut et professeur à la Sorbonne ; Paris, Hermann et Cie, éditeurs, 1933.

[03] The Kummer tensor density in electrodynamics and in gravity; arXiv:1403.3467v2 [gr-qc], 28 September 2014.

[04] Rovelli, C. and Vidotto, F. : Covariant Loop Quantum gravity, 267 pages.