GTR2 
Introduction

© Thierry PERIAT : Textes, idées et photos 

Il y très, très longtemps (environ quarante ans), j’ai découvert un petit « Que sais-je » intitulé « Le calcul tensoriel » (A. Delachet) [01]. Grâce à lui, j’ai non seulement découvert les rudiments de ce type de calcul mais encore, à titre d’exemple, une manière de construire les ingrédients essentiels de la théorie de la relativité générale (d’A. Einstein). Dans son essence, l’ouvrage basait la construction de relativité sur l’étude des variations au premier ordre des vecteurs de la base à laquelle l’espace vectoriel des discussions était rapporté.

D’un esprit curieux et imaginatif, je m’étais alors demandé ce qui se passerait en reprenant le raisonnement exposé dans ce petit fascicule mais en y intégrant les variations des vecteurs de base jusqu’à l’ordre deux (d’où le nom GTR2).

A mon grand étonnement et à ma grande surprise, j’ai pu construire un objet mathématique ressemblant comme deux gouttes d’eau au tenseur de courbure de Riemann. La construction n’avait qu’un défaut, elle contenait la nécessité de définit un champ de vecteurs dont les carrés étaient nuls. A cette époque lointaine, mes maigres connaissances théoriques ne m’ont pas permis de poursuivre sur cette voix et la présence de ces drôles de vecteurs m’avaient même convaincu du fait que j’avais probablement dû faire une erreur de calcul ou de raisonnement quelque part. Bref, vers 1978, la GTR2 était déjà née mais aussitôt enterrée.

Quelques longues années plus tard (vers 2004), j’ai acquis la version anglaise de la théorie des spineurs (E. Cartan) [02]. A sa lecture, j’ai découvert avec un énorme étonnement que les vecteurs dont les normes (en l’occurrence euclidiennes) sont nulles existent. Ils fondent justement la notion de spineur (lien externe Wikipédia – GB) au sein des espaces euclidiens. J’ai donc sorti mes calculs des tiroirs poussiéreux où ils dormaient tranquillement. Parcourant les lignes consacrées aux algèbres de Clifford dans l’ouvrage de Cartan et, simultanément, la version allemande du Landau et Lifschitz (lien externe Wikipédia – Allemagne) sur la mécanique classique des champs [03], j’ai enfin compris que la série de vecteurs aux normes nulles apparus dans la construction de la GTR2 avaient la possibilité de former des champs ressemblant aux champs électromagnétiques (EM). J’ai alors compris que la GTR2, si elle ne reposait pas par malheur sur une erreur logique, permettait d’abriter dans un espace de dimension quatre : un pseudo-tenseur de courbure de Riemann et de pseudo-champs EM. Cette approche théorique contenait donc en germe le contexte mathématique d’une unification des champs gravitationnels et EM. Et puis je me suis à nouveau arrêté là, faute de posséder les connaissances suffisantes pour développer la question.

J’ai repris récemment cette tentative (la GTR2) en l’analysant sous toutes les coutures. Il est possible d‘en lire les fondations en français [05] et en anglais [06] ainsi qu‘analyse systématique en anglais (sur www.researchgate.net). La version francophone complète est en préparation.

Je viens de franchir un jalon qui me semble être un moment crucial pour la défense de cette théorie. Une fois encore, je dois remercier E. Cartan et son ouvrage méconnu de 1933 [04] dans lequel il explique comment construire des métriques à partir de l’évolution des aires. Les résultats figurant dans ce livret montrent clairement que les cubes T de la GTR2 sont les cubes F de Cartan dans [04]. En conséquence de quoi, les composantes de ces cubes T sont tout simplement les dérivées partielles troisièmes de la forme (L x L) / 2 introduite par Cartan. Il m‘est désormais possible de relier mon pseudo-tenseur de courbure de Riemann avec les évolutions de surfaces.

Je vous invite à découvrir la progression de la construction de cette théorie (fondations, validation, conséquences annexes permettant de fonder une théorie de la gravitation quantique et analyse) grâce à l'usage du menu déroulant.

Bibliographie

[01] Delachet, A. : Le calcul tensoriel ; Que sais-je ?

[02] Landau, L. D. und Lifschitz, E.M.: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band II: Klassische Feldtheorie; 480 p. Akademische Verlag, Berlin (1992).

[03] Cartan, E.: Cartan, E. The theory of spinors. First published by Hermann of Paris in 1966; translation of the ``Lecons sur la théorie des spineurs (2 volumes)''; Hermann, 1937; Dover Publications, Inc. New York. © 1966 by Hermann, Paris, ISBN 0-486-64070-1 / également accessible librement : Givens, Wallace. Review: Élie Cartan, La Théorie des Spineurs. Bull. Amer. Math. Soc. 46 (1940), no. 11, 869--870. https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183503282.

[04] Cartan, E. : Cartan, Elie. Les espaces métriques fondés sur la notion de d'aire dans ``Actualités scientifiques et industrielles'', numéro 72, exposés de géométrie publiés sous la direction de monsieur Elie Cartan, membre de l'institut et professeur à la Sorbonne; Paris, Hermann et Cie, éditeurs, 1933.

[05] Periat, T. : Extensions de la théorie de la relativité générale incluant les variations des vecteurs de base à l’ordre deux ; ISBN 978-2-36923-088-5, EAN 9782369230885, v1, 12 février 2016 ; accessible sur researchgate.net

[06] Periat, T.: Foundations of the GTR2, projective variations of the local basis until the second order and links with the A. Einstein's theory of relativity; ISBN 978-2-36923-091-5, EAN 9782369230915 (2016). Proposed to Mathematical Physics, Analysis, Geometry – rejected.  Une version est visible sur researchgate.net.

[07] Periat, T.  GTR2, Riemann tensor and electromagnetic fields, ISBN 978-2-36923-131-8, v-26/06/2018, accessible sur researchgate.net.