Méthode extrinsèque
Une autre approche de la décomposition des produits tensoriels déformés

© Thierry PERIAT : Textes, photos et idées

 

Un produit tensoriel déformé est supposé être défini sur l’espace vectoriel E(D, K). On se pose à nouveau la question de savoir comment le décomposer ; éventuellement non trivialement.

" a, b Î E(D, K), $ ? ([P], z) Î M(D, K) x E(D, K) : |ÄA(a, b)> = [P]. |b> + |z>

Si E(D, K) est équipé d’une forme fondamentale, par exemple définie au travers de la matrice [B] de M(D, K), l’existence d’une telle décomposition est toujours associable avec celle d’une polynomiale de degré deux écrite en fonction des composantes du projectile.

Il devient légitime de s’interroger sur les circonstances permettant éventuellement d’identifier cette polynomiale avec un développement limité à l’ordre trois exclus d’une fonction numérique dépendant de ces D composantes. C’est l’idée essentielle cachée derrière l’utilisation de la méthode extrinsèque.

Aux détails importants près qu’il convient de toujours l’accompagner d’une analyse logique de cohérence. En effet, une réponse affirmative à l’interrogation précédente (la polynomiale est un développement limité) correspond seulement à l’existence de trois circonstances logiques. Une seule d’entre elles signe la réalisation effective d’une décomposition non-triviale extrinsèque.

Les calculs livrent alors de manière générique :

[P] = [A]F(a) + ½. [B]-1. T(o)(b, [B]. |z>)

L’avantage de cette méthode tient au fait qu’elle s’applique quelle que soit la valeur de D 2 et qu’elle livre la valeur du résidu de la décomposition non-triviale. Avec la définition qui a été adoptée pour les produits de Lie déformés, elle peut donc être utilement et facilement confrontée en dimension trois au résultat acquis via l’usage de la méthode intrinsèque.

(3)[P] = {[A]t. [J]}. {½. |A|. [S0] + [J]F(s)} avec |A| = ±1

Ce qui fournit par exemple :

[A]t. [J] º (3)[B]-; [S0] º |A|. T(o)(b, [B]. |z>) ; {[A]t. [J]}. [J]F(s) º [A]F(a)

Son inconvénient : l’incertitude logique expliquée ci-avant et l’imprécision probable du résultat puisqu’il s’obtient par une identification de deux graphes.

La méthode extrinsèque a été introduite et expliquée de multiple fois dans mon travail. Par exemple pp. 1-6, en anglais dans ISBN 978-2-36923-125-7 (« The Klein Gordon Equation and the deformed tensor products » ; début 2018) visible sur researchgate.net.