Méthode intrinsèque en dim 3
Les parties principales des décompositions non-triviales des produits vectoriels déformés

© Thierry PERIAT : Textes, photos et idées.

Document : 036-6, version 2 du 14 août 2018 – lien externe.

Dans les espaces de dimension trois, les produits vectoriels déformés du type générique [a, ][A] acceptant une décomposition non-triviale ([P], z) sont automatiquement associés à une polynomiale de degré deux écrite en fonction des trois composantes du projectile, a (voir dans le document : le théorème initial).

Pour qu’une décomposition non-triviale existe réellement, il faut nécessairement que cette polynomiale soit propre. Ce qui veut dire que la Hessienne [S0] de cette polynomiale est inversible et que celle-ci possède un vecteur singulier s. Dans ce cas, la partie principale [P] de la décomposition non-triviale d’un produit vectoriel déformé s’écrit génériquement :

[P] = {[A]. [J]}. {½. |A|. [S0] + [J]F(s)} avec |A| = ±1

Où la matrice carrée (3-3), [A], caractérise la déformation apportée au produit vectoriel classique qui sinon est conventionnellement défini par la matrice [J] dont on peut considérer qu’elle est la représentation d’une racine sixième de l’unité. La matrice carrée (3-3) [J]F(s) est la partie principale triviale de la décomposition de n’importe quel produit vectoriel classique du type :

|s Ù > = [J]F(s). |>.

Ce résultat est le fruit d’une longue démonstration consignée dans le document ISBN 978-2-36923-036-6, v1 du 16 octobre 2014. Il a été traduit en anglais où il est visible dans le document ISBN 978-2-36923-084-7 du 28 juin 2016. Il a également été incorporé au document francophone ISBN 978-2-36923-063-2 du 14 avril 2015 le confrontant avec ce que la physique dit au sujet des électrons de Bloch et finalement à la version anglophone de ce dernier (visible sur researchgate.net).

Ce résultat est longtemps resté orphelin à cause :

-           de la taille de la démonstration y menant,

-           de son apparence illogique (En effet, le projectile impliqué dans le produit vectoriel déformé n’y apparait que très indirectement alors qu’une décomposition triviale livre simplement [A]F(a). |>)

-           et du peu d’intérêt porté par la communauté scientifique à cette démarche algébrique.

Il trouve cependant aujourd’hui tout son relief dans une confrontation avec la méthode extrinsèque qui peut être utilisée pour découvrir les décompositions non-triviales de ces mêmes produits vectoriels déformés.

© Thierry PERIAT, 04 octobre 2018.