Notions élémentaires
Positionnement relatif du produit extérieur par rapport au produit tensoriel

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Notions élémentaires sur les produits tensoriels déformés en dimension un

Définition

Même dans un espace de dimension un, E(1, K) rapporté à sa base canonique W : {e}, il est possible de définir une sorte de produit tensoriel par :

" a, b Î E(1, K) : a Ä b = a. b. e Ä e

Concept d’intériorité

Pour la complétude, on remarquera l’absence d’information sur le terme e Ä e. De sorte qu’en général, cette opération n’est pas nécessairement interne. Le produit tensoriel, déformé ou non, est une opération binaire (= impliquant deux éléments) et interne sur {E(1, K), Ä} si et seulement si :

e Ä e = e

Le produit tensoriel de l’unique vecteur de la base canonique W de E(1, K) redonne alors ce vecteur et se comporte comme une sorte de projection.

La théorie de la question (E) va un cran plus loin en acceptant de déformer les produits tensoriels. Sur un espace de dimension un, ceci revient à penser qu’il existe un élément de K -par exemple, pour faire simple et ne pas avoir à commencer une discussion sur la notion de module et d’idéal- (soit A cet élément) tel que :

" a, b Î E(1, K), $ A Î K : a ÄA b = ÄA(a, b) = A. a. b. ÄA(e, e)

Pour qu’un produit tensoriel déformé soit interne sur E(1, K), il faut et suffit qu’il existe au moins un élément k de K tel que :

ÄA(e, e) = k. e

 Pour que ce produit tensoriel déformé ÄA soit interne sur[1] {E(1, K), ÄA}, il faut que k = 1 ; dans ce cas précis :

" a, b Î E(1, K), $ A Î K : a ÄA b = ÄA(a, b) = A. a. b. e

De sorte qu’un produit tensoriel a priori classique mais tel que le vecteur de la base canonique satisfait à la relation générique :

e Ä e = A. e

définit bien une opération interne sur E(1, K) et permet d’écrire :

" a, b Î E(1, K) : a Ä b = a. b. A. e

Par conséquent, chaque fois qu’il sera possible d’écrire l’égalité :

A. a. b = a. b. A,

ce produit tensoriel a priori classique et définissant une opération interne sur E(1, K) sera en réalité équivalent à un produit tensoriel déformé par A. C’est l’endroit où réapparait finalement spontanément la question de l’appartenance de A (qui -par simplicité- avait d’abord été éludée). En effet, l’observation de la relation précédente montre que A pourrait appartenir à n’importe quel ensemble X (sous-entendu : pas forcément confondu avec K) dont les éléments commutent avec ceux de K.

La question du crochet

Autre sujet ; avec l’état d’esprit utilisé dans [A. Delachet : Le calcul tensoriel] pour construire les algèbres extérieures, il est pertinent de calculer :

" a, b Î E(1, K) : a Ä b - b Ä a = (a. b - b. a). e Ä e

Et de découvrir à cette occasion l’importance de la commutativité. En effet, si K est équipé d’une multiplication commutative, le produit extérieur de deux vecteurs de E(1, K) est toujours nul. En revanche, si la multiplication définie sur K est non-commutative (exemple type : K = H, l’ensemble des quaternions), alors le produit extérieur de deux vecteurs de E(1, K) n’est pas nécessairement nul (Il l’est uniquement sur ce qu’on appelle le centre de cet espace : Z(E(1, K)).

Lorsque le produit tensoriel est déformé, le calcul du produit extérieur va donc cette fois-ci fournir :

" a, b Î E(1, K) : ÄA(a, b) - ÄA(b, a) = (A. a. b - A. b. a). e Ä e

Et montrer à quel point la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition définies sur (K, +, .) a de l’importance pour poursuivre les calculs. Quand cette distributivité existe, alors :

" a, b Î E(1, K) : ÄA(a, b) - ÄA(b, a) = A. (a. b - b. a). e Ä e

Une fois encore, la commutativité de la multiplication joue un rôle essentiel évident.



[1] Attention aux détails de l‘énoncé littéraire du problème mathématique de l’intériorité. Un produit tensoriel déformé par A et tel que le vecteur de la base à laquelle E(1, K) est rapporté satisfait e Ä e = k. e va fournir :

" a, b Î E(1, K), $ A Î K : a ÄA b = ÄA(a, b) = A. a. b. k. e

Il définit bien de facto une opération interne sur E(1, K) si A, a, b et k sont élément de K et que ce dernier est un corps commutatif. Dans ces mêmes conditions, il vient aussi :

" a, b Î E(1, K), $ A Î K : a ÄA b = ÄA(a, b) = A. k. a. b. e

Ce produit tensoriel n’est cependant interne ni sur {E(1, K), ÄA}, ni sur {E(1, K), Äk}.

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