Notions sur les produits scalaires
Les potentiels de la gravitation locale

© Thierry PERIAT : Textes, photos et idées

 Soit E(D, K) un espace vectoriel de dimension D bâti sur un corps K. S’il fallait absolument présenter l’essentiel de la démarche sous-tendue par la théorie des produits tensoriels déformés (La théorie de la question (E)) en quelques phrases, je dirais que la physique utilise deux opérations fondamentales agissant sur des paires de vecteurs : le produit scalaire qui fournit un scalaire et le produit vectoriel qui redonne un troisième vecteur de l’espace initial.

" a, b Î E(D, K)

a.b = k Î K

a Ù b = k Î E(D, K)

Pour autant, cette affirmation n’est valide que dans le type d’espace où nous vivons : tridimensionnel et Euclidien. Il y a maintenant plus d’un siècle que certains mathématiciens (Gauss [--], Riemann [--], Christoffel [--], Lobatchevski [--], Hilbert [--], etc.) nous ont rendu sensibles au fait que la géométrie euclidienne n’était pas la seule qui soit possible ; et qu’un certain A. Einstein a utilisé cette opportunité mathématique pour énoncer la théorie de la relativité générale [--].

Toujours du point de vue mathématique (qui est le mien), toutes ces réflexions ont surtout eu pour effet d’étendre la notion de produit scalaire à des espaces vectoriels munis d’une géométrie non-nécessairement euclidienne. Suite logique de ces travaux, il est aujourd’hui bien compris et admis que la géométrie locale se laisse caractériser par son effet sur les vecteurs de la base canonique à laquelle un espace vectoriel se laisse référer, W : (e0, e1, …, ea, …, eD-1), via l’action d’un produit scalaire défini localement. In extenso, nous avons désormais coutume de définir les produits scalaires par des matrices carrées de M(D, K) telles que :

[<ea, eb>W] = [gab] = (D)G Î M(D, K)

Les gab sont en réalité ce que nous nommons les potentiels de gravitation. Le cas euclidien classique tridimensionnel correspond simplement au cas particulier pour lequel D = 3, K = R (corps commutatif des nombres réels) et gab = dab (symbole de Kronecker, vaut 1 si les deux indices sont égaux et 0 s’ils diffèrent), équivalent à (3)G = Id3 Î M(3, R).

Dans la sémantique de la théorie de la question (E), la matrice carrée (D-D) située à gauche du signe de l’égalité est une « Table de Pythagore » pour le produit scalaire agissant sur la base W de l’espace E(D, K).

T2(<…, …>W)(W, W) = (D)G

Le produit scalaire <…, …> est implicitement interprété comme étant une application bilinéaire de E(D, K) x E(D, K) vers K. Ceci permet d’écrire de manière générique :

<a, b>W = <aa. ea, bb. eb>W = aa. bb. <ea, eb>W = aa. bb. gab

Et, en supposant K muni de la propriété de commutativité :

<a, b>W = aa. gab. bb = <a|. {(D)G. |b>} = <a|. {T2(<…, …>W)(W, W). |b>}