Sémantique
Le vocabulaire de la théorie

© Thierry PERIAT : Textes, photos et idées

Produits tensoriels déformés
Motivations et données élémentaires (5 pages)

Motivation

Faute d’une explication de la sémantique usitée dans mes documents, les lecteurs peuvent se sentir perdus. Je vais donc remédier à cette insuffisance.

Notion de division - schéma initial

Dans une division (j’ai envie de dire classique) de deux nombres -par exemple réels- il y a le nombre dont il est souhaité trouver le résultat (le numérateur) après une division par un autre nombre (le dénominateur). Il est d’ailleurs coutume de représenter la division sous l’apparence d’un ratio (d’une fraction, d’un rapport) de ces deux nombres :

Numérateur/Dénominateur

Le résultat est obtenu par une procédure propre à chaque culture (on ne divise par en Inde de la même façon qu’en France, par exemple). En général, il livre une partie principale et un reste (synonyme : un résidu) dont la division par la cible demeure inconnue.

Partie principale de la division + Reste/Dénominateur

Le tout peut donc s’écrire aussi :

Numérateur = (partie principale de la division x Dénominateur) + Reste

Notion de division – la vision de la théorie de la question (E)

La théorie dite de la question (E) est essentiellement celle de l’étude des décompositions (comprenez : divisions) de produits tensoriels (éventuellement déformés). La manière dont le concept de division est compris au sein de cette théorie repose initialement sur la notion de torsion abordée autrefois dans les classes des lycées de l’enseignement général.

(Rotation x Vecteur initial) + Translation = Nouveau vecteur

On voit sans difficulté les analogies suivantes :

Partie principale de la division º Rotation

Dénominateur º Vecteur initial

Reste  Translation

Numérateur º Nouveau vecteur

La TQE extrapole et généralise ce concept en partant du principe raisonnable que le nouveau vecteur résulte d’une interaction entre un vecteur inconnu (c’est le projectile de la théorie) et le vecteur initial dans un contexte plus ou moins classique. Elle propose donc d’écrire très généralement :

F(Projectile, Cible) = (Partie principale de la division x Cible) + Reste

Elle applique cette vision aux cas où F représente un produit tensoriel, éventuellement déformé,

F º ÄA

et aux cas où F désigne un produit de Lie, éventuellement déformé (voir les définitions dans le document joint).

F º […, …]A

La notion de contexte est traduite ici par celle de cubes de nombres, génériquement dénotés : A.