Tétraèdre-Diophantine
Une nouvelle façon de concevoir la causalité spatio-temporelle

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Pour aller plus loin : Moments de poésie

 Une nouvelle façon de concevoir la causalité spatio-temporelle

Je m'interroge depuis longtemps sur la manière correcte d'inclure notre monde tridimensionnel dans un espace de dimension quatre et, comme tous mes contemporains, sur les ponts logiques entre la relativité et le monde quantique. 

Même si les travaux et théories de S. Hawking ont offert une des premières pistes intégrant des données de ces deux piliers de la science fondamentale actuelle au travers de ses propositions concernant les trous noirs (existence, coalescence, rayonnement, etc.), il reste bien des mystères à résoudre pour pouvoir prétendre dire que nous comprenons bien notre univers.

La notion de temps (voir ma page Temps, statistiques et finances) semble, du point de vue de mon analyse, le sujet de discorde entre ces deux branches de la science. Pourquoi ? La relativité le considère sur un pied d'égalité avec chacune des dimensions spatiales mais ne semble pas pouvoir accepter le principe de l'existence de vecteurs « temps » (la flèche du temps ?) De l'autre côté de l'édifice, la théorie quantique admet l'évolution temporelle des opérateurs décrivant les grandeurs observables mais sans plus s'étendre sur le sujet.

Bordée de questions

Ce constat soulève intuitivement une série de questions : « Avons-nous bien articulé cette notion (de temps) avec les trois autres dimensions de l'espace ? Est-il opportun de vouloir représenter le temps par un axe linéaire (à l'instar de ce que nous faisons pour les autres dimensions) ? Où est donc le temps (ici, là où nous vivons) ? Comment pouvons-nous rendre mathématiquement compte du fait que les trois dimensions de notre espace portent apparemment implicitement en elles leur obligatoire évolution temporelle (Autrement dit : comment se fait-il que je vieillisse même sans bouger) ? Quels liens entre le mouvement (des molécules de mon corps) et mon « avancée » dans le temps ? Le temps n'est-il, un peu comme la température, qu'une mesure des mouvements et des processus mécaniques d'interaction entre mes molécules ? Mystère.

Observation

Une chose me frappe quand je considère n'importe quel polynôme de degré deux écrit avec les composantes d'un vecteur de E(4, K) est que ce polynôme peut toujours se décomposer de quatre façons différentes comme un polynôme de degré deux écrit en fonction de trois des quatre composantes de ce vecteur. Si chacun de ces quatre polynômes est une conoïde propre (voir -membres inscrits- mon travail : Tableau des travaux), alors chacun d'eux est associable avec un produit de Lie déformé impliquant l'un de ces quatre vecteurs de dimension trois. 

Mais au fond, ces quatre produits de Lie décrivent indirectement le même polynôme de de gré deux écrit en fonction des composantes de l'unique vecteur de E(4, K) impliqué dans cette description-décortication .... sur chacun des quatre sous-espaces de dimension trois contenu dans E(4, K). Ce fait suggère la nécessité d'introduire une figure géométrique ad hoc pour décrire ce découpage mental de l'espace de dimension quatre.

Intuition

Pour poursuivre la logique intuitive de ce raisonnement, il faut donc être en mesure d'associer chacune des formulations alternatives du polynôme de degré deux initial, P2(j1, j2, j3, j4), c'est-à-dire les P2(j1, j2, j3), P2(j1, j2, j4), P2(j1, j3, j4) et P2(j2, j3, j4), avec une face de cet objet fictif.

En poussant l'intuition plus loin et en partant du principe que quatre polynômes de degré deux peuvent en cacher un unique de même degré, puis qu'il serait plus judicieux de pouvoir associer un polynôme de degré n avec trois des faces de cet objet et de disposer d'une règle les unissant qui soit capable de redonner un polynôme de degré que nous associerions avec la quatrième face pour décrire le résultat de l'évolution dans le temps de l'interaction entre les trois premières faces (figurant une dimension spatiale chacune), j'en viens à m'intéresser -grâce à un rêve prémonitoire lié à la vie du mathématicien indien S. Ramanujan- aux équations diophantienne de degré trois.

Et c'est à ce moment là que j'entrevois ce concept mêlant produits tensoriels déformés en dimension quatre, tétraèdres et équation diophantienne et permettant de décrire un mécanisme d'évolution spatiale au cours du temps.

Thierry PERIAT, Waldkirch le 20 mars 2018.